Granger因果检验简要介绍
要探讨因果关系，首先当然要定义什么是因果关系。这里不再谈伽利略抑或休谟等人在哲学意义上所说的因果关系，只从统计意义上介绍其定义。从统计的角度，因果关系是通过概率或者分布函数的角度体现出来的：在宇宙中所有其它事件的发生情况固定不变的条件下，如果一个事件A的发生与不发生对于另一个事件B的发生的概率（如果通过事件定义了随机变量那么也可以说分布函数）有影响，并且这两个事件在时间上又先后顺序（A前B后），那么我们便可以说A是B的原因。
早期因果性是简单通过概率来定义的，即如果P(B|A)>P(B)那么A就是B的原因（Suppes，1970）；然而这种定义有两大缺陷：一、没有考虑时间先后顺序；二、从P(B|A)>P(B)由条件概率公式马上可以推出P(A|B)>P(A)，显然上面的定义就自相矛盾了（并且定义中的“>”毫无道理，换成“<”照样讲得通，后来通过改进，把定义中的“>”改为了不等号“≠”，其实按照同样的推理，这样定义一样站不住脚）。
事实上，以上定义还有更大的缺陷，就是信息集的问题。严格讲来，要真正确定因果关系，必须考虑到完整的信息集，也就是说，要得出“A是B的原因”这样的结论，必须全面考虑宇宙中所有的事件，否则往往就会发生误解。最明显的例子就是若另有一个事件C，它是A和B的共同原因，考虑一个极端情况：若P(A|C)=1，P(B|C)=1，那么显然有P(B|AC)=P(B|C)，此时可以看出A事件是否发生与B事件已经没有关系了。
因此，Granger（1980）提出了因果关系的定义，他的定义是建立在完整信息集以及发生时间先后顺序基础上的。至于判断准则，也在逐步发展变化：
最初是根据分布函数（条件分布）判断，注意Ωn是到n期为止宇宙中的所有信息，Yn为到n期为止所有的Yt (t=1…n)，Xn+1为第n+1期X的取值，Ωn-Yn为除Y之外的所有信息。
F(Xn+1 | Ωn) ≠ F(Xn+1 | (Ωn − Yn)) - - - - - - - (1)
后来认为宇宙信息集是不可能找到的，于是退而求其次，找一个可获取的信息集J来替代Ω：
F(Xn+1 | Jn) ≠ F(Xn+1 | (Jn − Yn)) - - - - - - - (2)
再后来，大家又认为验证分布函数是否相等实在是太复杂，于是再次退而求其次，只是验证期望是否相等（这种叫做均值因果性，上面用分布函数验证的因果关系叫全面因果性）：
E(Xn+1 | Jn) ≠ E(Xn+1 | (Jn − Yn)) - - - - - - - (3)
也有一种方法是验证Y的出现是否能减小对Xn+1的预测误差，即：
σ2(Xn+1 | Jn) < σ2(Xn+1 | (Jn − Yn)) - - - - - - - (4)
最后一种方法已经接近我们最常用的格兰杰因果检验方法，统计上通常用残差平方和来表示预测误差，于是常常用X和Y建立回归方程，通过假设检验的方法（F检验）检验Y的系数是否为零。
可以看出，我们所使用的Granger因果检验与其最初的定义已经偏离甚远，削减了很多条件（并且由回归分析方法和F检验的使用我们可以知道还增强了若干条件），这很可能会导致虚假的因果关系。因此，在使用这种方法时，务必检查前提条件，使其尽量能够满足。此外，统计方法并非万能的，评判一个对象，往往需要多种角度的观察。正所谓“兼听则明，偏听则暗”。诚然真相永远只有一个，但是也要靠科学的探索方法。
早期因果性是简单通过概率来定义的，即如果P(B|A)>P(B)那么A就是B的原因（Suppes，1970）；然而这种定义有两大缺陷：一、没有考虑时间先后顺序；二、从P(B|A)>P(B)由条件概率公式马上可以推出P(A|B)>P(A)，显然上面的定义就自相矛盾了（并且定义中的“>”毫无道理，换成“<”照样讲得通，后来通过改进，把定义中的“>”改为了不等号“≠”，其实按照同样的推理，这样定义一样站不住脚）。
事实上，以上定义还有更大的缺陷，就是信息集的问题。严格讲来，要真正确定因果关系，必须考虑到完整的信息集，也就是说，要得出“A是B的原因”这样的结论，必须全面考虑宇宙中所有的事件，否则往往就会发生误解。最明显的例子就是若另有一个事件C，它是A和B的共同原因，考虑一个极端情况：若P(A|C)=1，P(B|C)=1，那么显然有P(B|AC)=P(B|C)，此时可以看出A事件是否发生与B事件已经没有关系了。
因此，Granger（1980）提出了因果关系的定义，他的定义是建立在完整信息集以及发生时间先后顺序基础上的。至于判断准则，也在逐步发展变化：
最初是根据分布函数（条件分布）判断，注意Ωn是到n期为止宇宙中的所有信息，Yn为到n期为止所有的Yt (t=1…n)，Xn+1为第n+1期X的取值，Ωn-Yn为除Y之外的所有信息。
F(Xn+1 | Ωn) ≠ F(Xn+1 | (Ωn − Yn)) - - - - - - - (1)
后来认为宇宙信息集是不可能找到的，于是退而求其次，找一个可获取的信息集J来替代Ω：
F(Xn+1 | Jn) ≠ F(Xn+1 | (Jn − Yn)) - - - - - - - (2)
再后来，大家又认为验证分布函数是否相等实在是太复杂，于是再次退而求其次，只是验证期望是否相等（这种叫做均值因果性，上面用分布函数验证的因果关系叫全面因果性）：
E(Xn+1 | Jn) ≠ E(Xn+1 | (Jn − Yn)) - - - - - - - (3)
也有一种方法是验证Y的出现是否能减小对Xn+1的预测误差，即：
σ2(Xn+1 | Jn) < σ2(Xn+1 | (Jn − Yn)) - - - - - - - (4)
最后一种方法已经接近我们最常用的格兰杰因果检验方法，统计上通常用残差平方和来表示预测误差，于是常常用X和Y建立回归方程，通过假设检验的方法（F检验）检验Y的系数是否为零。
可以看出，我们所使用的Granger因果检验与其最初的定义已经偏离甚远，削减了很多条件（并且由回归分析方法和F检验的使用我们可以知道还增强了若干条件），这很可能会导致虚假的因果关系。因此，在使用这种方法时，务必检查前提条件，使其尽量能够满足。此外，统计方法并非万能的，评判一个对象，往往需要多种角度的观察。正所谓“兼听则明，偏听则暗”。诚然真相永远只有一个，但是也要靠科学的探索方法。
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